Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

dy = l i m f(x + Dx) - f(x)
dx Dx Þ 0 Dx

(Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali)

Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y`

RUMUS - RUMUS

1. FUNGSI ALJABAR y = xn Þ dy/dx = nxn-1

2. FUNGSI TRIGONOMETRI y = sin x Þ dy/dx = cos x y = cos x Þ dy/dx = - sin x y = sin x Þ dy/dx = sec²x

Sifat - sifat :

1. y = c (c=konstanta) Þ dy/dx = 0

2. y = c U(x) Þ dy /dx = c . U`(x)

3. y = U(x) ± V(x) Þ dy /dx = U`(x) ± V`(x)

4. Bentuk perkalian
y = U(x) . V(x) Þ dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x)

5. Bentuk pembagian
y = U(x) Þ dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x)
V(x) dx (V(x))²

6. Bentuk rantai
y = f(U) dan U = g(x) Þ dy/dx = dy/du .du/dx

y = (ax + b)ⁿ
dy/dx = n(ax+b)^n-1(a)

y = sin (ax + b)
dy/dx = (a) cos (ax+b)

y = sinⁿ (ax + b)
dy/dx = n sin^n-1(ax+b) [a cos (ax+b)]

Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<<>» setara )

l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x

l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx


l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS

l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ...	¥ untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m <>
l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥	¥ untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥ untuk a <>

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x² - 5x + 6 = (3)² - 5(3) + 6 = 0
x ® 3

2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x² - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x² - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x² - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5. l i m x³ - 3x² + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x² - 5x + 6 0

(x - 1)³ = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



6. l i m Ö² + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)³ = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



7. l i m (^3x - Ö9x² + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥

l i m (^3x - Ö9x² + 4x ) = é ^3x - Ö9x² + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë ^3x - Ö9x² + 4x û akar

l i m (^9x2 - (9x² + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x² + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö⁽¹ + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3

2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0

1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x

3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.

ditulis : l i m 2 = 0
x ® ¥ x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x ® a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a. l i m [f(x) ± g(x)] = l i m f(x) ± l i m g(x) = F ± G
x ® a x ® a x ® a

b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x ® a x ® a x ® a

c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x ® a x ® a

l i m f(x)
d. l i m f(x) = x ® a = F
x ® a g(x) l i m g(x) G
x ® a


LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥ ; a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥ (a = konstanta)

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :
K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PENGERTIAN

Pada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras.

Sin a = a/c Cos a = b/c tg a = a/b

cosec a = c/a sec a = c/b ctg a = b/a

HUBUNGAN-HUBUNGAN

ctg a = 1/tg a sec a = 1/cos a cosec a = 1/sin a

tg a = sin a / cos a sin2 a + cos2 a = 1 tg2 a + 1 = sec2 a

Satu radian (ditulis 1 rad) adalah besar sudut dari suatu putaran yang panjang busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran.

2p rad = 360° p rad = 180° 1 rad = 57,29°

TANDA-TANDA FUNGSI

Kuadran	I 0° - 90°	II 90° - 180°	III 180° - 270°	IV 270° - 360°
Sin	+	+	-	-
Cos	+	-	-	+
Tan	+	-	+	-

Melukis Grafik

y = a cos x + b sin x

a cos x + b sin x = K cos (x - a)

Maksimum = K ® bila cos (x - a) = 1
cos (x - a) = cos 0°
® untuk x = a + n.360°

Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1
cos (x - a) = cos 180°
® untuk x = a ± 180° + n.360°


NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)

y = 0 ® bila cos (x-a) = 0
cos (x-a) = cos 90°
® untuk x = a ± 90° + n360°