Matriks Bujur Sangkar dan Matriks Transpos
17.59
MATRIKS BUJUR SANGKAR
Banyaknya baris dan kolom matriks adalah sama
A=é a b ù
tttë c d û A berordo 2
KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika
a. Ordonya sama
b. Elemen-elemen yang seletak sama
A B
é 4p+q2 ù = é 4 2 ù
ë 5p+q 5 û 
q + 3 = 5 ® q =2
5p + q = 7 ® p = 1
MATRIKS TRANSPOS
_
Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.
A=é a b c ù
tttë d e f
At =
tt t ë c f û 3x2
Operasi Matriks
17.59
PENJUMLAHAN MATRIKS
Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).
| A | + | B | = | A + B |
| é a b ùë c d û | é p q ùë r s û | é a + p b + q ù ë c + r d + s û |
PENGURANGAN MATRIKS
Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.
A - B = A + (-B)
| A | - | B | = | A - B |
| é a b ùë c d û | é p q ùë r s û | é a - p b - q ù ë c - r d - s û |
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
| A = | é a b ù ë c d û | ® k A = | é ka kb ù ë kc kd û |
Matriks
17.57
DEFINISI
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f
Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A
ORDO
ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f
Banyaknya baris = 2 ; baris 1 : a b c ; baris 2 : a b c
Banyaknya kolom = 3
kolom 1 : é a ù
tttttttttttë d û
kolom 2 : é b ù
tttttttttttë e û
kolom 3 : é c ù
tttttttttttë f
keterangan: A2,1 = elemen baris ke 2 ; kolom ke 1
Barisan dan Deret Aritmatika (Hitung / Tambah)
17.55
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
- Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
- Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b <>
- Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
- Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
- Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
- Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
Barisan dan Deret Geometri (Ukur / Kali)
17.55
- BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
- DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
- Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
- Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
- Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un <>n-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
- Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
- Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
- Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
- Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
- DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + ..............................
¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1
dimana n ® ¥ dan -1 <> sehingga rn ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 <>
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
.
.
.
.
Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0
.
.
.
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0 = Modal awal
Mn = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <>
